Álgebra lineal Ejemplos

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2} & 1 \\ 1 & 1 \end{array}]$

Paso 1

The inverse of a $2 \times 2$ matrix can be found using the formula $\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ where $a d - b c$ is the determinant.

Paso 2

Find the determinant.

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Paso 2.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1 - 1 \cdot 1$

Paso 2.2

Simplifica el determinante.

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Paso 2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$\frac{1}{2} - 1 \cdot 1$

Paso 2.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{2} - 1$

Paso 2.2.2

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}$

Paso 2.2.3

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}$

Paso 2.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}$

Paso 2.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 2.2.5.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{1 - 2}{2}$

Paso 2.2.5.2

Resta $2$ de $1$ .

$\frac{- 1}{2}$

Paso 2.2.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{2}$

Paso 3

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

Paso 4

Substitute the known values into the formula for the inverse.

$\frac{1}{- \frac{1}{2}} [\begin{array}{c} 1 & - 1 \\ - 1 & \frac{1}{2} \end{array}]$

Paso 5

Cancela el factor común de $1$ y $- 1$ .

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Paso 5.1

Reescribe $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{- \frac{1}{2}} [\begin{array}{c} 1 & - 1 \\ - 1 & \frac{1}{2} \end{array}]$

Paso 5.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{\frac{1}{2}} [\begin{array}{c} 1 & - 1 \\ - 1 & \frac{1}{2} \end{array}]$

Paso 6

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$- (1 \cdot 2) [\begin{array}{c} 1 & - 1 \\ - 1 & \frac{1}{2} \end{array}]$

Paso 7

Multiplica $- (1 \cdot 2)$ .

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Paso 7.1

Multiplica $2$ por $1$ .

$- 1 \cdot 2 [\begin{array}{c} 1 & - 1 \\ - 1 & \frac{1}{2} \end{array}]$

Paso 7.2

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$- 2 [\begin{array}{c} 1 & - 1 \\ - 1 & \frac{1}{2} \end{array}]$

Paso 8

Multiplica $- 2$ por cada elemento de la matriz.

$[\begin{array}{c} - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot - 1 \\ - 2 \cdot - 1 & - 2 (\frac{1}{2}) \end{array}]$

Paso 9

Simplifica cada elemento de la matriz.

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Paso 9.1

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & - 2 \cdot - 1 \\ - 2 \cdot - 1 & - 2 (\frac{1}{2}) \end{array}]$

Paso 9.2

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 \\ - 2 \cdot - 1 & - 2 (\frac{1}{2}) \end{array}]$

Paso 9.3

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 \\ 2 & - 2 (\frac{1}{2}) \end{array}]$

Paso 9.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 9.4.1

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 \\ 2 & 2 (- 1) \frac{1}{2} \end{array}]$

Paso 9.4.2

Cancela el factor común.

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 \\ 2 & 2 \cdot - 1 \frac{1}{2} \end{array}]$

Paso 9.4.3

Reescribe la expresión.

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 \\ 2 & - 1 \end{array}]$